선형대수 : 9. 단위행렬

행렬식과 역행렬

행렬식을 사용함으로써 역행렬을 구할 수 있다.

역행렬을 사용하면 행렬의 방정식을 풀 수 있다.

 

단위행렬 (Identity matrix, Unit Matrix)

• 단위 행렬은 행과 열의 수가 같다.
• 행렬의 왼쪽 위에서부터 오른쪽 아래로 1이 나열된다. 그 외의 요소는 0이다.
• 단위 행렬은 행렬의 앞이나 뒤에서 행렬곱을 하더라도 그 행렬의 값을 변화시키지 않는다.

아래는 단위 행렬의 예이다.

LaTeX	수식
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1\end{pmatrix}$
$ \begin{align}\begin{pmatrix} 1 & 0 &\cdots & 0\\ 0 & 1& \cdots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{pmatrix}  \end{align}$

 

E( = 2x2의 단위행렬)

 

E의 의미

• E는 2행 2열의 단위행렬을 뜻한다.

 

 

LaTeX	수식
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

 

단위행렬의 행렬곱의 예

LaTeX	수식
$ \begin{align} A &=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\ EA &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\\ AE &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\end{align}$

 

 

파이썬에서의 단위행렬 구현

파이썬에서는 NumPy의 eye() 함수를 사용하여 단위행렬을 구현한다.

파라미터 n을 대입하면 nxn 단위행렬이 생성된다.

 

import numpy as np

print(np.eye(2))        #2x2단위행렬 E
print()

print(np.eye(3))        #3x3단위행렬
print()

print(np.eye(4))        #4x4단위행렬 


# [[1. 0.]
#  [0. 1.]]
# 
# [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]
# 
# [[1. 0. 0. 0.]
#  [0. 1. 0. 0.]
#  [0. 0. 1. 0.]
#  [0. 0. 0. 1.]]