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코사인 유사도(cosine similarity) 코사인 유사도는 벡터 사이의 방향의 가까운 정도를 나타낸다. 다음과 같이 요소 수가 2인 2차원 벡터 두 개가 존재한다고 가정하자. 두 벡터 사이의 각도는 세타(θ)라고 가정하자. 그렇다면 아래와 같은 그림을 그릴 수 있다. 내적 구하기 np.linalg.dot()을 통해 벡터의 내적을 구할 수 있다. 내적은 각 요소의 총합이다. 위의 내적은 삼각함수와 L2 놈을 사용해서 구할 수도 있다. 삼각함수와 L2 놈을 사용한 내적 구하기 아래의 내용은 코사인 법칙 정리를 사용해서 증명 가능하다. LaTeX 수식 $\vec{a}\cdot\vec{b} = ||\vec{a}||_{2}||\vec{b}||_{2} cos\theta = \sqrt{a_{1}^2 + a_{2..

고윳값과 고유벡터의 계산 행렬을 고유방정식에 대입하여 고윳값을 먼저 구한다. 구한 각각의 고윳값에 대한 고유벡터를 구한다. 1. 고윳값의 계산 다음 행렬 A의 고윳값을 계산한다. 고유방정식 사용 (A를 고유방정식에 대입) LaTeX 수식 $\begin{align} det(A-\lambda{E}) &= 0 \\ \\ det\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&1 \\ 2&4 \end{pmatrix} -\lambda \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} &= 0 \\ \\ det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 2 & 4-\lambda \end{pmatrix} &= 0\\ \\ (3-\lambda)(..

고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector) 고윳값 고유벡터의 길이를 변하게 하는 배수. 선형변환의 그 고유벡터에 대응하는 값. 아래 행렬 A에 대해서 관계를 만족시키는 스칼라 λ를 행렬 A의 고윳값이라고 한다. LaTeX 수식 $A \vec{x} = \lambda \vec{x}$ 고유벡터 위 관계에서의 벡터 x를 행렬 A의 고유벡터라고 한다. 선형변환 이후에도 방향이 변하지 않는 0이 아닌 벡터 선형변환에 의해 각 요소가 고윳값의 배가 되는 벡터 고윳값과 고유벡터의 사용 선형변환은 대게 고유벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명 가능 고유벡터와 고윳값의 개념은 선형대수학, 함수해석학 등의 응용 분야에 자주 사용 인공지능에서는 데이터를 요약하는 주성분 분석이라는 기법에 이용된다. 고윳값과 ..

표준기저(Standard basis) 표준기저를 이용하여 벡터를 일반적인 식의 형태로 표현할 수 있다. 벡터는 '표준기저와 상수의 곱의 합'으로 표현할 수 있다. 표준기저는 다음과 같다. LaTeX 수식 $\vec e_{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec e_{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ 이 때 벡터 a는 아래와 같이 나타낼 수 있다. LaTeX 수식 $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = 2\vec e_{x} + 3..

선형변환(linear transformation, ) 선형변환은 벡터를 변환한다. 벡터에서 벡터로의 변환을 선형변환이라고 한다. 선형변환은 선형대수학에서 선형 결합을 보존하는, 두 벡터 공간 사이의 함수이다. 선형변환은 인공지능에서 뉴럴 네트워크로 정보를 전파시키는 데 사용한다. 참고: https://url.kr/g9v4td 아래의 예를 보자. 행렬 A가 있다. LaTeX 수식 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ a라는 세로 벡터가 있다. LaTeX 수식 $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ 행렬 A를 세로 벡터a에 곱해서 새로운 세로 백터 b로 변환할 수 있다. LaTeX 수식 $\vec b =..

벡터 그리기 다음의 벡터를 화살표로 그린다. LaTeX 수식 $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 파이썬에서의 벡터 그리기 matplotlib.pyplot 라이브러리의 quiver() 함수를 사용하여 화살표를 그린다. quiver() 함수의 설정은 아래와 같다. quiver(시작점의 x좌표, 끝 점의 y좌표, 화살표의 x 성분, 화살표의 y 성분, angles=화살표의 각도와 결정방법, scale_units=스케일의 단위, scale=스케일, color=화살표의 색) #벡터를 그릴 때는 x성분과 y성분으로 표현한다. 실습 #벡터로 화살표 그리기 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt #화살표 그리는 함수 ..

역행렬 (inverse matrix) 스칼라에 그 역수를 곱하면 1이 된다. 예) 3 x 1/3 = 1 이와 같이 행렬에도 곱하면 단위행렬이 되는 행렬이 존재한다. 그것이 역행렬이다. 역행렬의 표시 LaTex 수식 $A^{-1}$ 행렬과 역행렬의 관계 LaTex 수식 $A^{-1}A = AA^{-1} = E$ 단, 위와 같은 관계가 되려면 행렬 A가 행과 열의 수가 같은 정방행렬(square matrix여야 한다) 아래의 경우 C와 D는 순서에 상관 없이 행렬곱을 해도 단위행렬이 된다. 따라서 역행렬 관계가 성립한다. LaTex 수식 $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1& 2 \end{pmatrix} D = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatr..

행렬식과 역행렬 행렬식을 사용함으로써 역행렬을 구할 수 있다. 역행렬을 사용하면 행렬의 방정식을 풀 수 있다. 단위행렬 (Identity matrix, Unit Matrix) 단위 행렬은 행과 열의 수가 같다. 행렬의 왼쪽 위에서부터 오른쪽 아래로 1이 나열된다. 그 외의 요소는 0이다. 단위 행렬은 행렬의 앞이나 뒤에서 행렬곱을 하더라도 그 행렬의 값을 변화시키지 않는다. 아래는 단위 행렬의 예이다. LaTeX 수식 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0& 1\end{pmatrix}$ $ \begin{align}\begin{pmatrix} 1 & 0 &\cdots & 0\..

전치 전치는 행과 열을 바꾸는 것이다. 전치행렬은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 행렬 A의 전치는 아래와 같이 표현한다. 전치의 예 LaTeX 수식 $ \begin{align} A &=\begin{pmatrix} 1 & 2& 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \\ \\ A^T &= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} B &=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \\ e & f\end{pmatrix} \\ \\ B^T &= \begin{pmatrix} a & c & e\\ b & d & f \end{pmatrix} \end{align}$ 파이썬에서의 전치의 ..

행렬의 요소별 곱 (아다마르 곱) 행렬의 요소별 곱은 행렬의 각 요소끼리 곱하는 것이다. 아다마르 곱(Hadamard product)이라고도 불린다. ○ 또는 ⊙로 표기한다. 두 행렬 A와 B가 아래와 같을 때 LaTeX 수식 $ \begin{align} A &=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots & a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{align}$ $ \begin{align} B &=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}&\cdots & b_{1n}\\ b_{21}&..