선형대수: 14. 고윳값과 고유벡터, 그리고 고유 방정식 (1)

고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)

고윳값

• 고유벡터의 길이를 변하게 하는 배수. 선형변환의 그 고유벡터에 대응하는 값.
• 아래 행렬 A에 대해서 관계를 만족시키는 스칼라 λ를 행렬 A의 고윳값이라고 한다.

LaTeX	수식
$A \vec{x} = \lambda \vec{x}$

 

고유벡터

• 위 관계에서의 벡터 x를 행렬 A의 고유벡터라고 한다.
• 선형변환 이후에도 방향이 변하지 않는 0이 아닌 벡터
• 선형변환에 의해 각 요소가 고윳값의 배가 되는 벡터

 

고윳값과 고유벡터의 사용

• 선형변환은 대게 고유벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명 가능
• 고유벡터와 고윳값의 개념은 선형대수학, 함수해석학 등의 응용 분야에 자주 사용
• 인공지능에서는 데이터를 요약하는 주성분 분석이라는 기법에 이용된다.

 

 

고윳값과 고유벡터의 예

• 단위행렬 E에 대해서, 단위 행렬을 벡터에 곱해도 벡터는 변하지 않는다.
• 따라서 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

이 식을 정리하면 아래와 같다.

이 때 우변이 벡터 0이 된다. 벡터 0은 요소가 전부 0인 벡터이다.

 

행렬 (A - λE)가 역행렬을 가지는 경우

• 여기서 행렬 (A - λE)가 역행렬을 가진다고 하면 양 변에 역행렬을 곱한다.
• 그러면 아래와 같이 벡터 x가 벡터 0과 같게 된다.

LaTeX	수식
$\begin{align} (A-\lambda)^{-1}(A-\lambda E)\vec{x} &= (A-\lambda)^{-1} \vec{0}\\ \vec{x} &= (A-\lambda{E})^{-1} \vec{0}\\ &=\vec{0} \end{align}$

 

행렬 (A - λE)가 역행렬을 가지지 않는 경우

• (A - λE)를 행렬식(det, determinant)에 대입해 본다.
• 아래와 같은 방정식으로 나타낼 수 있다.

행렬A의 고유방정식

위와 같은 방정식을 행렬A의 고유방정식이라고 한다.

 

참고. 역행렬을 구하는 식.  행렬식의 값이 0이 아니라면, 아래의 식을 통해 역행렬을 구할 수 있다.

LaTex	행렬식 수식
$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

참고: https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B3%A0%EC%9C%B3%EA%B0%92%EA%B3%BC_%EA%B3%A0%EC%9C%A0_%EB%B2%A1%ED%84%B0